ALJABAR BOOLEAN

Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean 
adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR, NOR, dan NAND dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen.

Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19. Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah). Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0. 
Fungsi boolean bentuk standar terdiri dari 2 yaitu SOP (Sum of Product) dan POS (Product of Sum). SOP terdiri dari beberapa gerbang AND dan satu gerbang OR. Sebaliknya POS terdiri dari beberapa gerbang OR dan satu buah gerbang AND. Penyederhanaan fungsi boolean sangat perlu dilakukan untuk membuat suatu fungsi menjadi lebih efisien dan mudah dipahami. Ada tiga cara penyederhanaan fungsi, yaitu: 

1. Menggunakan aturan Aljabar Boolean (secara matematis), 
2. Menggunakan Karnaugh map (K-map) 

ALJABAR BOOLEAN (Tampilan PPT)
Hukum-hukum Aljabar Boolean

Contoh:

1. f(x) = x 

2. f(x, y) = x ’y + xy ’+ y ’

3. f(x, y) = x ’ y ’

4. f(x, y) = (x + y)’

5. f(x, y, z) = xyz ’

Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.

Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.
Pada contoh 5 terdiri dari 3 literal yaitu x, y dan z'. Fungsi tersebut akan bernilai 1 jika x = 1, y = 1, dan z = 0 sebab
F(1,1,0) = 1.1.0 = (1.1).1 = 1.1 = 1
Dan bernilai 0 untuk yang lainnya.
Selain secara aljabar fungsi Boolean bisa dinyatakan dengan tabel kebenaran (truth table)

Contoh:

 dari contoh 5 f(x,y,z) = xyz' nyatakan f dalam tabel kebenaran.

x	y	z	z'	f(x,y,z)
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 0 1 0 1 0 1 0	0 0 0 0 0 0 1 0

Fungsi Komplemen

Fungsi komplemen dari suatu fungsi f yaitu f' dapat dicari dengan menukarkan nilai 0 menjadi 1 dan nilai 1 menjadi 0.
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk membentuk fungsi komplemen:
1.  Menggunakan hukum De Morgan     

      Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan

Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x₁ dan x₂, adalah          

     Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka

      f ’(x, y, z)  = (x(y’z’ + yz))’

                                 =  x’ + (y’z’ + yz)’

                                 =  x’ + (y’z’)’ (yz)’

                                      =  x’ + (y + z) (y’ + z’)

2. Menggunakan prinsip dualitas. 

    Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.

Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.

      Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka dual dari  f:  x + (y’ + z’) (y + z)

komplemenkan tiap literalnya:            x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’

            Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)

BENTUK KANONIK    (Tampilan PPT)

Ada dua macam bentuk kanonik:

1.      Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)

2.      Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

Contoh: 1.  f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz  à SOP

          Setiap suku (term) disebut minterm

     2.    g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

         (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z)  à POS

Setiap suku (term) disebut maxterm

Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap

Bentuk Kanonik 2 variabel

  Bentuk Kanonik 3 Variabel
Bentuk Kanonik 3 Variabel

Perbedaan minterm dan maksterm

Untuk membentuk minterm perhatikan kombinasi variabel yang menghasilkan nilai 1 dan 0. Nilai 1 ditulis dengan  x dan nilai 0 dengan x’ sehingga kombinasi 001=x’y’z, 100=xy’z’ dan 111=xyz.

Untuk membentuk maxterm perhatikan kombinasi variabel yang menghasilkan nilai 0 dan 1. Nilai 1 ditulis dengan  x’ dan nilai 0 dengan x sehingga kombinasi 000 = (x+y+z),  010 = (x+y’+z), 011 = (x+y’+z’), 101 = (x’+y+z’) dan110  = (x' +y' +z) 

Notasi Sigma berguna untuk mempersingkat penulisan ekspresi dalam bentuk SOP dan Phi untuk ekspresi  POS.

Conso (Contoh Soal)

x	y	z	f(x,y,z)
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 0 0 1 0 0 1

 Dari tabel diatas nyatakan fungsi tersebut dalam bentuk kanonik SOP dan POS!

  Penyelesaian :

Kombinasi nilai-nilai variabel yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah f(x, y, z) =  x’y’z + xy’z’ + xyz

  atau (dengan menggunakan lambang minterm),

   f(x, y, z) =  m1 + m4 + m7 =                      

(1, 4, 7)

Kombinasi nilai-nilai variabel yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101 dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah f(x, y, z) = (x+y+z) (x+y’+z) (x+y’+z’) (x’+y’+z)

atau (dengan menggunakan lambang maxterm),       

  f(x, y, z) =  M0.M2.M3.M5.M6= 

(0,2,3,5,6)

Conso Yang lain.

Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

Penyelesaian:

  (a) SOP

x  = x(y + y’)

    = xy + xy’

    = xy (z + z’) + xy’(z + z’)

    = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’

 y’z = y’z (x + x’)

      = xy’z + x’y’z

Jadi  f(x, y, z)   = x + y’z

                          = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z

                          = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz               

   atau  f(x, y, z)   = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 =  

(1,4,5,6,7)

(b) POS

    f(x, y, z) = x + y’z

                   = (x + y’)(x + z)

        x + y’ = x + y’ + zz’

                   = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)

         x + z = x + z + yy’          

                   = (x + y + z)(x + y’ + z)

  Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)

                         = (x + y  + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

atau f(x, y, z) = M0M2M3 =

(0, 2, 3)        

Kalau ada pertanyaan silahkan bertanya agar bisa kita diskusikan!
Kalau sudah paham kerjakan soal yang ada di TEST1.
 Materi Minggu depan adalah K_MAP. Jadi sebelum memulai pertemuan minggu depan anak-anak ibu sudah bisa membaca sekaligus membahas materi minggu depan DISINI 
Jangan Lupa belajar dirumah.

Sumber lain yang bisa dijadikan referensi:
herrizky
Berusaha mengigat dengan menulisnya